Assam State School Education Bord (ASSEB) NCERT Textbook Solutions for class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progression in Assamese Medium. দশম শ্ৰেণীৰ গণিতৰ সমাধানঃ সমান্তৰ প্ৰগতি | Class 10 Mathematics Solutions: Arithmetic Progression Solutions in Assamese Medium.
প্ৰিয় শিক্ষাৰ্থী সকল, আপোনালোকৰ অনুশীলনৰ সুবিধাৰ্থে, আমি ইতিমধ্যে দশম শ্ৰেণীৰ গণিতৰ "সমান্তৰ প্ৰগতি" (Arithmetic Progressions) অধ্যায়ৰ সম্পূৰ্ণ সমাধান অনলাইনত উপলব্ধ কৰাইছো। সেই অধ্যায়ৰ অনুশীলনী 4.1, অনুশীলনী 4.2, অনুশীলনী 4.3 আৰু অনুশীলনী 4.4 ৰ স্পষ্ট আৰু সহজবোধ্য সমাধানবোৰ আপুনি আমাৰ ৱেবছাইট/চেনেলত পাব।
Exercise 5.1 (অনুশীলনী 5.1)
1. তলৰ পৰিস্থিতিবিলাকৰ লগত জড়িত সংখ্যাৰ তালিকামবিলাকৰ কোনবিলাকে সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰিব আৰু কিয় কৰিব ?
(i) প্ৰথম কিলোমিটাৰত টেক্সিভাৰা 15 টকা আৰু তাৰ পিছৰ প্ৰতি অতিৰিক্ত কিলোমিটাৰত 8 টকাকৈ হ’লে প্ৰতি কিলোমিটাৰৰ অন্তত টেক্সিভাৰা কিমান ।
সমাধানঃ
ধৰোঁ,
প্ৰথম n কি.মি.ত টেক্সি ভাড়া = an
প্ৰথম কিলোমিটাৰত টেক্সিভাৰা = 15 টকা
পিছৰ প্ৰতি অতিৰিক্ত কিলোমিটাৰত = 8 টকা
তেন্তে,
a1 = 15
a2 = 15+8 = 23
a3 = 23+8 = 31
ইয়াত,
a2 – a1 = a3 – a2 = …. = 8
∴ উক্ত পৰিস্থিতিটো সমান্তৰ প্ৰগতি হয় । য’ত প্ৰথম পদ 15 আৰু সাধাৰণ অন্তৰ 8
(ii) এটা গেছ চিলিণ্ডাৰৰ পৰা ভেকুৱাম পাম্প এটাই এবাৰত চিলিণ্ডাৰত থকা বায়ুৰ ¼ অংশ নিষ্কাশন কৰিলে সেই চিলিণ্ডাৰটোত প্ৰতিবাৰ নিষ্কাশনৰ পিছত ৰৈ যোৱা বায়ুৰ পৰিমাণ ।
সমাধানঃ
ধৰোঁ, পৰিস্থিতিটোৰ প্ৰথম পদ a1 = x একক
তেন্তে,
প্ৰতিবাৰ নিষ্কাশনৰ পিছত ৰৈ যোৱা বায়ুৰ পৰিমাণবোৰ হল,
যিহেতু, a2 – a1 ≠ a3 – a1
∴ উক্ত পৰিস্থিতিটো সমান্তৰ প্ৰগতি নহয় ।
(iii) এটা কুঁৱা খান্দোনতে প্ৰথম মিটাৰৰ খৰচ 150 টকা আৰু তাৰ পিছৰ প্ৰতিমিটাৰত 50 টকাকৈ লাগিলে প্ৰতি মিটাৰ খন্দাৰ পিছত কুঁৱা খন্দাৰ খৰচ ।
সমাধানঃ
ধৰোঁ,
প্ৰথম n মি.খান্দোনতে খৰচ হয় = an
প্ৰথম মি.খান্দোনতে খৰচ হয় = 150 টকা
পিছৰ প্ৰতি মিটাৰ খন্দাৰ পিছত কুঁৱা খন্দাৰ খৰচ = 8 টকা
তেন্তে,
a1 = 150
a2 = 150+50 = 200
a3 = 200+50 = 250
ইয়াত,
a2 – a1 = a3 – a2 = …. = 50
∴ উক্ত পৰিস্থিতিটো সমান্তৰ প্ৰগতি হয় । য’ত প্ৰথম পদ 150 আৰু সাধাৰণ অন্তৰ 50
(iv) 10000 টকা বছৰি 8% মিশ্ৰ সুতৰ (compound interest) হাৰত জমা কৰিলে সেই একাণ্টত প্ৰতি বছৰে থাকিব লগা ধনৰ পৰিমাণ ।
সমাধানঃ
ধৰোঁ,
প্ৰথম n বছৰে থাকিব লগা ধনৰ পৰিমাণ= an
দিয়া আছে,
সূত = 8% প্ৰথম বছৰ মূলধন a1 = 10000
তেন্তে,
ইয়াত,
a2- a1 = 10800-10000 = 800
a3- a2 = 11664-10800 = 864
a4- a3 = 12597.12-11664 = 933.12
দেখা গল যে, উক্ত পৰিস্থিতিৰ সাধাৰণ অন্তৰ বেলেগ বেলেগ ।
এই পৰিস্থিতিটো সমান্তৰ প্ৰগতি নহয় ।
2. যদি প্ৰথম পদ a আৰু সাধাৰণ অন্তৰ d তলত দিয়া ধৰণৰ, তেন্তে প্ৰতিটো AP ৰে প্ৰথম চাৰিটা পদ লিখা :
(i) a= 10, d=10
(ii) a= -2, d=0
(iii) a= 4, d=-3
(iv) a= -1, d= ½
(v) a= -1.25, d=-0.25
সমাধানঃ
(i) a = 10, d =10
প্ৰথম পদ a1 = 10
দ্বিতীয় পদ a2 = a1 +d = 10+10 = 20
তৃতীয় পদ a3 = a2+d = 20 + 10 = 30
চতুৰ্থ পদ a4 = a3 +d = 30+10 = 40
∴ AP টো চাৰিটা পদ হল = 10, 20, 30, 40
(ii) a = -2, d =0
প্ৰথম পদ a1 = -2
দ্বিতীয় পদ a2 = a1 +d = -2 + 0 = -2
তৃতীয় পদ a3 = a2+d = -2 + 0 = -2
চতুৰ্থ পদ a4 = a3 +d = -2 + 0 = -2
∴ উক্ত AP টো চাৰিটা পদ হল = -2, -2, -2, -2
(iii) a= 4, d=-3
প্ৰথম পদ a1 = 4
দ্বিতীয় পদ a2 = a1 +d = 4 + (-3) = 1
তৃতীয় পদ a3 = a2+d = 1 + (-3) = -2
চতুৰ্থ পদ a4 = a3 +d = -2 + (-3) = -5
∴ উক্ত AP টো চাৰিটা পদ হল = 4, 1, -2, -5
(iv) a= -1, d= ½
প্ৰথম পদ a1 = -1
দ্বিতীয় পদ a2 = a1 +d = -1 +½= -½
তৃতীয় পদ a3 = a2+d = -½+½= 0
চতুৰ্থ পদ a4 = a3 +d = 0 + ½= ½
∴ উক্ত AP টো চাৰিটা পদ হল = -1, -½, 0, ½
(iv) a = -1.25, d = -0.25
প্ৰথম পদ a1 = -1.25
দ্বিতীয় পদ a2 = a1 +d = -1.25+(-0.25) = -1.50
তৃতীয় পদ a3 = a2+d = -1.50 + (-0.25) = -1.75
চতুৰ্থ পদ a4 = a3 +d = -1.75 + (-0.25) = -2.00
∴ উক্ত AP টো চাৰিটা পদ হল = -1.25, -1.50, -1.75, -2.00
3. তলত দিয়া সমান্তৰ প্ৰগতিসমূহৰ প্ৰথম পদ আৰু সাধাৰণ অন্তৰ নিৰ্ণয় কৰা :
(i) 3, 1, -1, -3, …….
(ii) -5, -1, 3, 7, …….
(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9 ,….
সমাধানঃS
(i) প্ৰথম পদ a = 3
সাধাৰণ অন্তৰ d = a2-a1 = 1-3 = -2
(ii) প্ৰথম পদ a = -5
সাধাৰণ অন্তৰ d = a2-a1 = -1-(-5) = 4
(iv) প্ৰথম পদ a = 0.6
সাধাৰণ অন্তৰ d = a2-a1 = 1.7- 0.6 = 1.1
4. তলৰ কোনবোৰ সমান্তৰ প্ৰগতিত আছে ? যিবিলাক সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰিছে তাৰ প্ৰতিটোৱে সাধাৰণ অন্তৰ d নিৰ্ণয় কৰা আৰু পৰৱৰ্তী তিনিটাকৈ পদ নিৰ্ণয় কৰা ।
সমাধানঃ
(i) 2, 4, 8, 16,…..
a2 - a1 = 4-2 =2
a3 – a2 = 8-4 =4
a4 – a3 = 16-8 =8
যিহেতু a2 - a1 ≠ a3 – a2
∴ প্ৰদত্ত তালিকাই AP গঠন নকৰে ।
∴ প্ৰদত্ত তালিকাই AP গঠন কৰে ।
ইয়াৰ পৰৱৰ্তী পদ তিনিটা হল
(iii) -1.2, -3.2, -5.2, -7.2 ……
a2 - a1 = -3.2 – (-1.2) = -2.0
a3 – a2 = -5.2 – (-3.2) = -2.0
a4 – a3 = -7.2 – (-5.2) = -2.0
∴ প্ৰদত্ত তালিকাই AP গঠন কৰে । ইয়াত সাধাৰণ অন্তৰ d = - 2.0
ইয়াৰ পৰৱৰ্তী পদ তিনিটা হল
পঞ্চম পদ a5 = a4 + d = -7.2 – 2.0 = -9.2
ষষ্ঠ পদ a6 = a5 + d = -9.2 – 2.0= -11.2
সপ্তম পদ a7 = a6 + d = -11.2 -2.0 = -13.2
(iv) -10, -6, -2,2 ……..
a2 - a1 = -6-(-10) = 4
a3 – a2 = -2 – (-6) = 4
a4 – a3 = 2 – (-2) = 4
∴ প্ৰদত্ত তালিকাই AP গঠন কৰে । ইয়াত সাধাৰণ অন্তৰ d = 4
ইয়াৰ পৰৱৰ্তী পদ তিনিটা হল
পঞ্চম পদ a5 = a4 + d = 2+4 = 6
ষষ্ঠ পদ a6 = a5 + d = 6+4= 10
সপ্তম পদ a7 = a6 + d = 10+4 = 14
(v) 3, 3+√2, 3+2√2, 3+3√2…….
a2 - a1 =3+√2 -3 = √2
a3 – a2 = 3+2√2 – (3+√2) = √2
a4 – a3 = 3+3√2 – (3+2√2) = √2
∴ প্ৰদত্ত তালিকাই AP গঠন কৰে । ইয়াত সাধাৰণ অন্তৰ d = √2
ইয়াৰ পৰৱৰ্তী পদ তিনিটা হল
পঞ্চম পদ a5 = a4 + d = 3+3√2 + √2 = 3+4√2
ষষ্ঠ পদ a6 = a5 + d = 3+4√2 + √2 = 3+5√2
সপ্তম পদ a7 = a6 + d = 3+5√2 + √2 = 3+6√2
(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222,…..
a2 - a1 = 0.22 – 0.2 =0.02
a3 – a2 = 0.222 – 0.22 = 0.002
a4 – a3 = 0.2222 – 0.222 =0.0002
যিহেতু a2 - a1 ≠ a3 – a2
∴ প্ৰদত্ত তালিকাই AP গঠন নকৰে ।
(vii) 0, -4, -8, -12,…….
a2 - a1 = -4 – 0 = -4
a3 – a2 = -8 – (-4) = -4
a4 – a3 = -12 –(-8) = -4
∴ প্ৰদত্ত তালিকাই AP গঠন কৰে । ইয়াত সাধাৰণ অন্তৰ d = - 4
ইয়াৰ পৰৱৰ্তী পদ তিনিটা হল
পঞ্চম পদ a5 = a4 + d = -12 – 4 = -16
ষষ্ঠ পদ a6 = a5 + d = -16 – 4= -20
সপ্তম পদ a7 = a6 + d = -20 -4 = -24
∴ প্ৰদত্ত তালিকাই AP গঠন কৰে । ইয়াত সাধাৰণ অন্তৰ d = 0
ইয়াৰ পৰৱৰ্তী পদ তিনিটা হল
(ix) 1, 3, 9, 27,…..
a2 - a1 = 3-1 =2
a3 – a2 = 9-3 =6
a4 – a3 = 27-9 = 18
যিহেতু a2 - a1 ≠ a3 – a2
∴ প্ৰদত্ত তালিকাই AP গঠন নকৰে ।
(x) a, 2a, 3a, 4a,……
a2 - a1 = 2a - a =a
a3 – a2 = 3a-2a =a
a4 – a3 = 4a -3a = a
∴ প্ৰদত্ত তালিকাই AP গঠন কৰে । ইয়াত সাধাৰণ অন্তৰ d = a
ইয়াৰ পৰৱৰ্তী পদ তিনিটা হল
পঞ্চম পদ a5 = a4 + d = 4a + a= 5a
ষষ্ঠ পদ a6 = a5 + d = 5a + a = 6a
সপ্তম পদ a7 = a6 + d = 6a +a = 7a
(xi) a, a2, a3, a4,……
a2 - a1 = a2 –a
a3 – a2 = a3 - a2
a4 – a3 = a4 -3a
যিহেতু a2 - a1 ≠ a3 – a2
∴ প্ৰদত্ত তালিকাই AP গঠন নকৰে ।
(xii) √2, √8, √18, √32…..
a2 - a1 = √8 - √2 = √2
a3 – a2 = √18 - √8 = √2
a4 – a3 = √32 - √18 = √2
∴ প্ৰদত্ত তালিকাই AP গঠন কৰে । ইয়াত সাধাৰণ অন্তৰ d = √2
ইয়াৰ পৰৱৰ্তী পদ তিনিটা হল
পঞ্চম পদ a5 = a4 + d = √32 + √2= √50
ষষ্ঠ পদ a6 = a5 + d = √50 + √2 = √72
সপ্তম পদ a7 = a6 + d = √72 + √2 = √98
(xiii) √3, √6, √9, √12………
a2 - a1 = √6 - √3
a3 – a2 = √9 - √6
a4 – a3 = √12 -√9
যিহেতু a2 - a1 ≠ a3 – a2
∴ প্ৰদত্ত তালিকাই AP গঠন নকৰে ।
(xiv) 12, 32, 52, 72,……….
a2 - a1 = 32 - 12 = 8
a3 – a2 = 52-32 = 16
a4 – a3 = 72 - 52 = 24
যিহেতু a2 - a1 ≠ a3 – a2
∴ প্ৰদত্ত তালিকাই AP গঠন নকৰে ।
(xv) 12, 52, 72, 73,………
a2 - a1 = 52 - 12 = 24
a3 – a2 = 72 - 52= 24
a4 – a3 = 73 - 72 = 24
∴ প্ৰদত্ত তালিকাই AP গঠন কৰে । ইয়াত সাধাৰণ অন্তৰ d = 24
ইয়াৰ পৰৱৰ্তী পদ তিনিটা হল
পঞ্চম পদ a5 = a4 + d = 73 + 24 = 97
ষষ্ঠ পদ a6 = a5 + d = 97 + 24 = 121
সপ্তম পদ a7 = a6 + d = 121 + 24 = 145
Published by Biswajit Das, B.Sc B.Ed
We are presenting the solutions
for the next crucial chapter in your syllabus, "Quadratic Equations"
(Chapter 5).
এই অধ্যায়ত আপুনি শিকিব দ্বিঘাত সমীকৰণ চিনাক্ত
কৰা, বিভিন্ন পদ্ধতিৰে (যেনে উৎপাদকীকৰণ, বৰ্গপূৰণ কৰা, আৰু সূত্ৰৰ ব্যৱহাৰ) ইহঁতৰ সমাধান উলিওৱা।
আমাৰ দিয়া সমাধানবোৰে আপোনাক এই ধাৰণাসমূহ সুন্দৰকৈ আয়ত্ত কৰাত সহায় কৰিব।
In this chapter, you will learn to identify quadratic equations and solve them using various methods (such as factorization, completing the square, and using the quadratic formula). Our provided solutions will help you master these concepts thoroughly.